计算解剖学（CA）是医学影像领域内的一门学科，专注于在可见或大体解剖形态尺度上研究解剖形状与形式。
该领域定义广泛，涵盖解剖学、应用数学和纯数学的基础，包括医学影像、神经科学、物理学、概率论和统计学。其重点是被成像的解剖结构，而非医学影像设备。
在医学影像中，计算解剖学子领域的核心焦点是将信息映射到解剖坐标系上，最常测量的是磁共振图像（MRI）中的密集信息。将流引入 CA，类似于流体动力学中使用的运动方程，利用了图像分析中密集坐标遵循拉格朗日和欧拉运动方程的概念。在基于拉格朗日和欧拉微分同胚流的模型中，约束与拓扑性质相关，例如开集保持不变、坐标不交叉（意味着唯一性和逆映射的存在），以及连通集保持连通。微分同胚方法的使用迅速发展，在 Christensen 等人[1]的原始论文之后主导了映射方法领域，快速且对称的方法也已可用。[2][3]
计算解剖学在医学影像背景下的核心统计模型是香农理论的源-信道模型；源是可变形图像模板 I \in \mathcal{I}，信道输出是成像传感器，其可观测量为 I^D \in \mathcal{I}^{\mathcal{D}}。源-信道模型的重要性在于，解剖构型的变化与医学影像的传感器变化被分开建模。贝叶斯理论规定，该模型由源上的先验 \pi_{\mathcal{I}}(\cdot)（作用于 I \in \mathcal{I}）以及条件密度
（在给定 I \in \mathcal{I} 的条件下）表征。
在可变形模板理论中，图像与模板相关联，变形是一个作用于模板的群；参见计算解剖学中的群作用。
对于图像作用 I(g) \doteq g \cdot I_\mathrm{temp}, g \in \mathcal{G}，则群上的先验 \pi_{\mathcal{G}}(\cdot) 诱导出图像上的先验 \pi_{\mathcal{I}}(\cdot)，写成密度形式时，对数后验为：
后续的随机轨道模型规定了如何生成群元素，从而生成构成先验分布的随机对象散点。
计算解剖学的随机轨道模型首次出现在[4][5][6]，它建模了作用在模板上的群随机性所导致的坐标变化，这种随机性进而诱导了图像源在解剖形状和形式轨道中的随机性，以及通过医学成像设备得到的观测结果。这样一个随机轨道模型，其中群上的随机性诱导图像上的随机性，曾针对特殊欧几里得群进行过物体识别研究，其中群元素 g \in \mathcal{G} 是特殊欧几里得群。[7]
对于 CA 中可变形形状的研究，计算解剖学中使用的高维微分同胚群通过光滑流 \varphi_t, t \in [0,1] 生成，这些流满足拉格朗日和欧拉流场规范，并满足常微分方程：
其中 v \doteq (v_1,v_2,v_3) 是 \mathbb{R}^3 上的向量场，称为流中粒子在位置 \varphi 处的欧拉速度。向量场是函数空间中的函数，建模为光滑希尔伯特空间，要求向量场具有一阶连续导数。对于 v_t = \dot \varphi_t \circ \varphi_t^{-1}, t \in [0,1]，流的逆由下式给出
并且 3 \times 3 雅可比矩阵在 \mathbb{R}^3 中为 D\varphi \doteq \left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}\right)。
为了确保具有逆的微分同胚的光滑流，向量场 \mathbb{R}^3 必须在空间上至少连续可微一次[8][9]，这些向量场被建模为希尔伯特空间 (V, \| \cdot \|_V) 中的元素，利用索伯列夫嵌入定理，使得每个元素 v_i \in H_0^3, i=1,2,3, 具有三个平方可积导数。因此 (V, \| \cdot \|_V) 光滑地嵌入到连续可微函数空间。[8][9]微分同胚群是流，其向量场在索伯列夫范数下绝对可积：
其中 \| v_t \|_V^2 \doteq \int_X Av_t \cdot v_t dx，A 是一个线性算子 A:V \mapsto V^*，定义了 RKHS 的范数。当 Av 是对偶空间 V^* 中的广义函数时，积分通过分部积分计算。
在计算解剖学的随机轨道模型中，整个流被简化为初始条件，该初始条件构成编码微分同胚的坐标。从初始条件 v_0 出发，关于计算解剖学黎曼度量的测地定位求解欧拉-拉格朗日方程的流。
从初始条件 v_0 求解测地线称为黎曼指数映射，即从恒等映射到群的映射 \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(\cdot): V \to \operatorname{Diff}_V。
黎曼指数映射满足 \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v_0)= \varphi_1，初始条件为 \dot \varphi_0 = v_0，向量场动力学为 \dot \varphi_t = v_t \circ \varphi_t, t \in [0,1]。
它扩展到整个群，\varphi= \operatorname{Exp}_\varphi(v_0\circ \varphi) \doteq \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v_0) \circ \varphi。
随机轨道通过随机化流（在恒等映射处生成初始切空间向量场 v_0 \in V）来生成随机对象 n \doteq \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v_0) \cdot m_0 \in \mathcal{M}。
随机轨道模型在给定特定图谱 I_a \in \mathcal{I} 的条件下，诱导出形状和图像 I \in \mathcal{I} 上的先验。为此，生成模型生成平均场 I，作为模板坐标的随机变化，即 I \doteq \varphi \cdot I_a，其中微分同胚坐标变化通过测地流随机生成。
随机轨道模型在给定特定图谱 I_a \in \mathcal{I} 的条件下，诱导出形状和图像 I \in \mathcal{I} 上的先验。为此，生成模型生成平均场 I，作为模板坐标的随机变化，即 I \doteq \varphi \cdot I_a，其中微分同胚坐标变化通过测地流随机生成。随机变换 \pi_\mathrm{Diff}(d\varphi) 在 \operatorname{Diff}_V 上的先验由流 \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v) 诱导，其中 v \in V 被构造为高斯随机场先验 \pi_V(dv)。传感器输出端随机可观测量的密度 I^D \in \mathcal{I}^D 由下式给出：
最大后验概率估计（MAP）是现代统计理论的核心。感兴趣的参数 \theta \in \Theta 有多种形式，包括（i）疾病类型，如神经退行性或神经发育疾病，（ii）结构类型，如与图像分割问题相关的皮层或皮层下结构，以及（iii）从群体中重建模板。给定观测图像 I^D，MAP 估计最大化后验：
这需要计算条件概率 p(\theta\mid I^D) = \frac{p(I^D,\theta)}{p(I^D)}。多图谱轨道模型随机化于可数图谱集 \{ I_a, a \in \mathcal{A} \} 上。轨道中图像的模型采用多模态混合分布的形式：
条件高斯模型已在密集图像的不精确匹配和标志点匹配中得到了广泛研究。
将 I^D(x), x \in X 建模为条件高斯随机场，条件均值场为 \varphi_1 \cdot I \doteq I(\varphi_1^{-1}), \varphi_1 \in \operatorname{Diff}_V。对于均匀方差，端点误差项起到对数条件概率的作用（仅依赖于均值场），给出端点项。
将 Y = \{ y_1,y_2,\dots \} 建模为条件高斯，均值场为 \varphi_1(x_i), i=1,2,\dots, \varphi_1 \in \operatorname{Diff}_V，噪声方差与标志点无关且恒定。对数条件概率（仅依赖于均值场）可视为端点项：
多图谱的随机轨道模型将形状的轨道建模为多个解剖轨道的并集，这些轨道由微分同胚的群作用生成，\mathcal{I} = \bigcup_{a \in \mathcal{A}}\operatorname{Diff}_V \cdot I_a，每个图谱具有一个模板和预定义的分割场 (I_a,W_a), a = a_1,a_2,\ldots，将 MRI 坐标的解剖结构进行分区。这些配对在体素网格上索引 I_a(x_i),W_a(x_i), x_i \in X \subset \mathbb{R}^3，包含一个 MRI 图像和每个体素坐标的密集标记。分区结构的解剖标记由神经解剖学家手动描绘。
贝叶斯分割问题[10]给定测量 I^D，均值场和分区为 (I,W)，需要估计解剖标记 \theta \doteq W。可观测图像 I^D 的均值场被建模为来自某个模板 I \doteq \varphi \cdot I_a 的随机变形，该模板也是随机选择的，A = a。最优微分同胚 \varphi \in \mathcal{G} 是隐藏的，作用于随机选择的模板图像 I_a 的坐标背景空间。给定单个图谱 a，推理的似然模型由联合概率 p(I^D,W\mid A = a) 决定；对于多图谱，似然函数的融合产生多模态混合模型，先验对模型进行平均。
分割 W_a 的 MAP 估计器是最大化 \max_{W} \log p(W \mid I^D) 的值，其中 I^D 给定，涉及所有图谱的混合。
量 p(I^D,W) 通过来自多个可变形图谱的似然融合计算，其中 \pi_A(a) 是观测图像来自特定模板图像 I_a 的先验概率。
MAP 分割可以通过期望最大化算法迭代求解：
从群体中经验性地生成模板是该学科普遍的基本操作。
基于贝叶斯统计的几种方法已出现，用于子流形和密集图像体积。
对于密集图像体积情况，给定可观测数据 I^{D_1}, I^{D_2}, \dots，问题是在密集图像轨道 I \in \mathcal{I} 中估计模板。Ma 的程序采用初始超模板 I_0 \in \mathcal{I} 作为起点，并将模板建模在轨道中，由未知待估计的微分同胚 I \doteq \varphi_0 \cdot I_0 决定，待估计参数为对数坐标 \theta \doteq v_0，决定超模板的测地映射 \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v_0) \cdot I_0 = I \in \mathcal{I}。
在计算解剖学的贝叶斯随机轨道模型中，观测到的 MRI 图像 I^{D_i} 被建模为条件高斯随机场，均值场为 \varphi_i \cdot I，其中 \varphi_i 是模板的随机未知变换。MAP 估计问题是根据观测到的 MRI 图像估计未知模板 I \in \mathcal{I}。
Ma 的密集图像程序采用初始超模板 I_0 \in \mathcal{I} 作为起点，并将模板建模在轨道中，由未知待估计的微分同胚 I \doteq \varphi_0 \cdot I_0 决定。可观测数据被建模为条件随机场，I^{D_i} 是均值场为 \varphi_i \cdot I \doteq \varphi_i \cdot \varphi_0 \cdot I_0 的随机场。通过 MAP 显式估计的未知变量是超模板的映射 \varphi_0，其他映射被视为冗余或隐藏变量，通过贝叶斯程序积分掉。这通过期望最大化算法完成。
轨道模型通过将待估计的未知流与其对数坐标 v_i,i=1,\dots 关联起来利用，利用计算解剖学中黎曼测地线的对数和指数映射，即恒等映射处切空间中的初始向量场，使得 \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v_i) \doteq \varphi_i，其中 \operatorname{Exp}_\mathrm{id}(v_0) 是超模板的映射。
MAP 估计问题变为：
EM 算法将完整数据视为参数化映射的向量场坐标 v_i,i=1,\dots，并迭代计算条件期望：